13.6 表示理论与李代数

群的表示理论是一种（特别是对量子理论来说）重要的概念体系。我们在§13.1讨论过群表示的一个非常简单的例子，我们看到，正方形的非镜面反射对称性可用复数表示，群的乘法表现为复数的乘法。但用于非阿贝尔群的却没这么简单，因为复数乘法是可交换的，而线性变换（或矩阵）通常则是不可交换的。因此，我们可以将这一点当作非阿贝尔群判据的一种合理的预估。事实上，在§13.3的开始我们就已经遇到了这种情形，在那里我们根据三维线性变换来表示转动群O（3）。

在第22章我们将看到，量子力学都是用线性变换来处理的。更进一步说，各种对称群在现代粒子理论里占有极为重要的位置，这些群包括转动群O（3）、相对论下的对称群（第18章）和表示基本粒子相互作用的各种对称群（第25章）等等。因此，这些群的表示理论，特别是根据线性变换来表示的这些群，在量子理论中扮演着极为重要的角色。

事实表明，量子理论（特别是第26章的量子场论）经常涉及无限维空间的线性变换。但出于简单计，这里我只谈有限维情形下的线性变换表示。我们将遇到的大多数概念都可应用到无限维表示中去，尽管在某些场合下二者存在有明显的差异。

什么是群的表示呢？对于群G，表示理论关心的是找出GL（n）的某个子群（即n×n矩阵的乘法群），它具有这样的性质：对G的任一元素g，存在相应的线性变换T（g）（属于GL（n）），使得G的乘法律在GL（n）的运算中得以保留，即，对G的任意两元素g，h，有

T（g）T（h）=T（gh）。

只要g不同于h，T（g）就不等于T（h），这时我们称这种表示是忠实的。在此情形下，我们有群G的恒同摹本，即GL（n）的子群。

实际上，GL（n，R）里的每个有限群都有一个忠实的表示，这里n是G的阶，**〔13.32〕当然经常还存在许多不忠实表示。另一方面，下述情形则未必正确：每个（有限维的）连续群在某个GL（n）上有忠实表示。但如果我们不在意群的总体面貌，那么（局部上）群表示总是可能的。[13]

影响深远的原创型挪威数学家索弗斯·李（Sophus Lie，1842～1899）提出过一种能够对连续群的局部表示作完整处理的优美理论。（正因此，连续群通常被称为“李群”，见§13.1）。这一理论是建立在对无穷小群元素的研究基础上的。[14]这些无穷小元素定义了一种代数，即李代数，它可以给出群的局部结构的全部信息。虽然李代数不提供群的全部总体结构，但通常认为这并不重要。

什么是李代数呢？假定我们有一个矩阵（或线性变换）I+εA用来表示某个连续群G的“无穷小”元素a，这里ε取“小量”（与§13.4末尾相比较）。如果用I+εA和I+εB的矩阵积来表示两元素a和b的积ab，我们得到

（I+εA）（I+εB）=I+ε（A+B）+ε2AB=I+ε（A+B）

这里，我们忽略了二阶小量ε2，因为它“小得无法计算”了。由此可知，两无穷小元素a和b的群积ab可用矩阵的和A+B来表示。

的确，量A，B，…的和运算是李代数的一部分，但和是可交换的，而群G在这里却是非阿贝尔的，因此，如果只考虑和的话（事实上是只考虑G的维数），我们就无法把握群结构的主要实质。G的非阿贝尔性质可通过群的换位子*〔13.33〕

a b a－1b－1

来说明。我们把这个式子按I+εA等来展开，注意到幂级数展开式（I+εA）－1=I－εA+ε2A2－ε3A3+…（这个级数很容易用I+εA乘以两边来检验）。现在我们将ε3作为“小得无法计算”加以忽略，但保留ε2项，于是**〔13.34〕

（I+εA）（I+εB）（I+εA）－1（I+εB）－1

=（I+εA）（I+εB）（I－εA+ε2A2）（I－εB+ε2B2）

=I－ε2（AB－BA）

它告诉我们，如果要对非阿贝尔群G进行细致研究，我们就必须利用“换位子”或李括号

［A，B］=AB－BA。

这样，李代数就可以反复运用算符+，－和括号运算［，］来构建了，这里习惯上允许普通的数乘（可以是实数或复数）。李代数的“加法”性具有通常的矢量空间结构（如同§11.1里的四元数）。另外，李括号满足分配律，等等，即

［A+B，C］=［A，C］+［B，C］，［λ A，B］=λ［A，B］，

反对称性

［A，B］=－［B，A］，

（因此有［A，C+D］=［A，C］+［A，D］，［A，λ B］=λ［A，B］），和称之为雅可比恒等式的精巧关系**〔13.35〕

［A，［B，C］］+［B，［C，A］］+［C，［A，B］］=0

（其更一般形式见§14.6）。

我们可为矩阵A，B，C，…的矢量空间选定一个基（E1，E2，…，EN）（这里N是群G的维数，如果表示是忠实的话）。由此形成不同的换位子［Eα，Eβ］，我们用基元素来表示这些换位子，得到关系（用求和约定）

［Eα，Eβ］=γα βχEχ．

N3个分量γα βχ称为G的结构常数，它们不都相互独立，因为由上述反对称性和雅可比恒等式知，它们满足（见§11.6里的括号记法）**〔13.36〕

这些关系的图示记法见图13.11。

事实很明显，忠实表示的李代数结构（根本上说，是结构常数γα βχ）足以确定群G的精确的局部性质。这里“局部”是指在“群流形”g内围绕单位元素I的（足够小的）N维开区域N，其中g的点代表G的不同元素（见图13.12）。实际上，从李群元素A开始，按§13.4节末定义的“指数化”运算eA方法，我们可以构造相应的实际有限的（即非无穷小的）群元素。（我们将在§14.6节再作稍仔细点的考虑。）因此，通过线性变换（或矩阵）得到的连续群的表示理论可大幅度转换为线性变换下李代数表示的研究，物理上经常就是这么用的。

这一点对量子力学尤为重要。在量子力学里，李代数元素本身经常被直接用来解释物理量（诸如角动量，此时群G是转动群，以后我们会在§22.8里看到这一点）。

李代数矩阵在结构上要比相应的李群矩阵简单得多，这是因为前者服从线性关系而不是非线性的缘故（见§13.10里经典群的情形）。量子物理家所钟爱的也正是这一点！