注释

§13.1

[13.1]阿贝尔生于1802年，因肺病（肺结核）卒于1829年，享年26岁。更一般的非阿贝尔群（ab≠ba）则是由更为不幸、短命的法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦（Evariste Galois，1811～1832）引入的。他在一次决斗中被杀，当时尚未年满21岁。决斗前夜，他匆忙写下了有关利用这些群来研究代数方程可解性的革命性的思想，现在我们称它作伽罗瓦理论。

[13.2]我们还应注意，“－C”意味着“取共轭，然后乘以－1”，即－C=（－1）C。

[13.3]S代表“Special特殊的”（意思是“单位行列式的”），从这里的上下文可知，它只是告诉我们，反向变动不予考虑；O代表“orthogonal正交的”，它是指坐标轴的“正交性”（即直角性质）在变动中保持不变；3代表我们所考虑的是三维下的转动。

[13.4]有一条著名的定理告诉我们，每个连续群不仅是光滑的（即§§6.3，6里的记号C0实指C1，甚至可以是C∞），而且还是解析的（即C0实指Cω）。这个结果作为著名的“希尔伯特第五问题”的解，是由Andrew Mattei Gleason，Deane Montgomery，Leo Zippin和Hidehiko Yamabe等人于1953年给出的，见Montgomeryand Zippin（1955）。它在§13.6里可以解释用幂级数的理由。

§13.2

[13.5]见van der Waerden（1985），166～174页。

[13.6]见Devlin（1988）。

[13.7]见Conway and Norton（1972），Dolan（1996）。

§13.3

[13.8]我们将在§14.1里看到，欧几里得空间是一种仿射空间。如果我们取特殊点（原点）O，它就变成了矢量空间。

[13.9]在本书的许多地方，错开排列张量符号的指标不仅是方便的，有时甚至是必需的。在线性变换情形下，我们需要用它来表示矩阵乘法的顺序。

[13.10]这是个维数r的矢量空间区域（r＜n），我们称r为矩阵或线性变换T的秩。非奇异n×n矩阵的秩为n（“秩”的概念也用于长方形矩阵。）比较注释12.18。

[13.11]矩阵理论的历史见MacDuffee（1933）。

§13.5

[13.12]在那些本征矢量张不起整个空间（即d小于相应的r）的奇异情形下，我们仍可找到典范形式，不过现在只允许1出现在主对角线上。这些留存下来的1恰好都在方块内，这些方块的对角线上的项就等于本征值（若当范式），见Anton and Busby（2003）。其实在若当之前两年的1868年，魏尔斯特拉斯（K.T.W.Weierstrass，1815～1897）显然就已经发现了这个范式，见Hawkins（1977）。

§13.6

[13.13]为了说明这一点，考虑SL（n，R）［即GL（n，R）本身的单位行列式元素］。这个群有“双覆盖”SL（n，R）（要求n≥3），它得自SL（n，R）的方式基本上等同于§11.3里我们在研究带纸带的书的转动时从SO（3）很快找到SO（3）的情形。因此，SO（3）是普通三维空间里自旋客体的（非镜向反射）转动群。同样，我们可以将§13.3里那些服从带有“挤压”或“拉伸”的更一般的线性变换的对象也看作是“自旋客体”，这样，我们得到局部等同于SL（n，R）的群SL（n，R），但实际上它不可能是GL（m）的忠实表示。见注解15.9。

[13.14]这个概念有明确定义，见注解13.4。

§13.7

[13.15]见Thirring（1983）。

[13.16]这里我们再次遇到了那种变幻莫测的数学概念命名的情形。正如这个领域里习惯上与嘉当这个名字连在一起（如“嘉当子代数，嘉当积分”等）的许多重要概念实际上最初是源自基灵（见§13.2）一样，我们所谓的“基灵形式”实则来自嘉当（和赫尔曼·外尔），见Hawkins（2000），§6.2。但是，我们将要在§30.6里遇到的“基灵向量”则的确是来自基灵的工作（Hawkins，2000，128页注释20）。

[13.17]在这段上下文里，我（有意）在数学上稍显随便地使用“同样的”一词，其严格的数学用词是“同构的”。

§13.8

[13.18]关于如何经此过程做到这一点，我一直不十分明了。V的基e=（e1，e2，…，en）通过性质ei·ej=与其对偶基，即V*的基e*=（e1，e2，…，en）相联系。应用§12.8里的多重线性函数到p个对偶基元素与q个基元素的不同组合上，我们就可以得到价张量Q的分量：=Q（ef，…，eh；ea，…，ec）。

[13.19]见注释13.3。

[13.20]见注释13.10。读者对这一点可能会有迷惑：为什么§13.5里的Tab可以有许多不变量，即本征值λ1，λ2，…，λn，而gab则没有？答案是不同的指标位置上变换的性态是不同的。

§13.9

[13.21]注意，在正定情形下，按注释13.18的理解，（）是（e1，e2，…，en）的对偶基。

[13.22]对于固定的p+q=n，群U（p，q）和GL（n，R）都具有相同的复化群即GL（n，C），它们也都是这种复群的不同实形式。

§13.10

[13.23]正如gab和gab的作用一样，我们可以用sab和sab来提升和降低张量的指数，这样，va=sabvb，va=sabvb（见§13.8）。但由于反对称性，我们要注意使指标的顺序保持一致。熟悉二阶旋量计算的读者（见Penrose and Rindler 1984，vol.1）也许会注意到这里的sab与那里计算中εAB之间的记号上的差异。

[13.24]我不太关心这些不同的实形式的标准术语和记号，因此，为目前计，我们一直都用Sp（p，q）记号。

[13.25]事实上，有单位行列式，因此我们不需要类似SO（n）和SU（n）那样的“”。原因是据sab我们有关于列维－齐维塔ε…的表达式（“Pfaffian”），无论sab取什么形式，这个表达式不变。

[13.26]见注释13.17。

***〔13.1〕证明：若对于所有a，我们仅假定1a=a和a－1a=1，加上结合律a（bc）=（ab）c，那么就可推出：a1=a和aa－1=1。（提示：a不是唯一的具有逆的元素）。另一方面，试证明：为什么说a1=a，a－1a =1和a（bc）=（ab）c不是充分的。

*〔13.2〕解释为什么矢量空间是阿贝尔群——称为加法性阿贝尔群——其中群的“乘法”运算是矢量空间的“加法”运算。

*〔13.3〕验证这些关系（记住Ci代表“先行运算i×，再行运算C”，等等）。（提示：你可以仅对1和i进行运算来检验这些关系，为什么？）

**〔13.4〕试证这些关系式。

*〔13.5〕验证：本段里的所有这些元素集合都是子群（记住［13.2］里的提示）。

**〔13.6〕检验这些判断，找出两个或更多个非正规子群，并证明不会再有更多个了。

***〔13.7〕证明这一点。（提示：那些组转动会是转动不变量？）

**〔13.8〕验证这一点，并证明：如果S不是正规群，这些公理失效。

**〔13.9〕试解释：对于G的任意一个有限子群S，元素的数目为什么是G的阶除以S的阶。。

*〔13.10〕验证：对任意两个群G和H，G×H是一个群，并且我们可以用H来叠合商群

*〔13.11〕对于距o单位距离上的点，说明如何从§2.1的毕达哥拉斯定理导出这个方程。

**〔13.12〕你能解释为什么吗？为简单计，请在二维情形下验证这一关系。

*〔13.13〕在三维情形下证明该式。

*〔13.14〕写出这个式子的所有项，解释这个式子是如何表示为xaTabxb的。

*〔13.15〕R，S和T之间的关系是什么？把它写成分量的3×3方阵元素的展开形式。如果你熟悉“矩阵乘法”的正规律，你会看清楚这一点。

*〔13.16〕验证该式。

**〔13.17〕为什么？证明：如果分量的阵列里有一列全部是零，或有全同的两列，则必有此结果。为什么如果有两行全同也会有此结果？

**〔13.18〕不用显式证明为什么？

**〔13.19〕用图12.18给出的图示关系直接证明，这个定义给出TT－1=I=T－1T

*〔13.20〕解释这一点，给出长方形矩阵的完整的代数规则。

**〔13.21〕由图13.8（a）的表达式出发推导这些关系。

***〔13.22〕证明这些关系成立。

*〔13.23〕证明这一点。

**〔13.24〕证明这一点。

***〔13.25〕建立这个表达式。（提示，根据§13.5里描述的矩阵的本征值来运用矩阵的“正则形式”。首先假定这些本征值不相等（见习题［13.27］），然后运用一般性推导证明某些本征值的相等不可能造成这一恒等式不成立。）

**〔13.26〕试试看你能不能用图示方式来表示这个多项式的系数。对n=1和n=2情形进行验证。

*〔13.27〕试证：det T=λ1，λ2，…，λn，trace T=λ1+λ2+…+λn。

***〔13.28〕证明这一点。

*〔13.29〕解释这种记法。

**〔13.30〕为什么？在f基下ei的分量如何表示？

***〔13.31〕试试你能否证明。提示：对每一个重数为r的本征值，取r个线性独立的本征矢量。证明，当所有这些矢量间的关系是连续左乘以T时，将导致矛盾。

**〔13.32〕证明这一点。提示：用有限群G的个别元素来标记该元素所在的表示矩阵的每一列和每一行，如果标记了行、列的某个G元素与这个特殊矩阵所表示的G元素之间存在某种确定关系（找出这种关系！），则在矩阵的这个位置置1，否则置0。

*〔13.33〕当a和b可交换时为什么这个表示正好是单位群元素？

**〔13.34〕详细说明这个“阶ε2”的运算。

**〔13.35〕证明该式。

**〔13.36〕证明该式。

*〔13.37〕为什么？

*〔13.38〕为什么是这个数？

**〔13.39〕证明这一点。

**〔13.40〕证明这一点。

*〔13.41〕解释这一点。

**〔13.42〕证明：价张量的表示空间也是可约化的。提示：将任何张量剖分成“无迹”部分和有“迹”的部分。

*〔13.43〕验证这一点。

*〔13.44〕为什么κα β=κβ α？

**〔13.45〕利用注释13.18来建立这个关系式。

*〔13.46〕为什么？

*〔13.47〕为什么等价？

**〔13.48〕你能确定这个判断么？

**〔13.49〕解释为什么。

**〔13.50〕解释这个关系式。在伪正交变换情形下（定义见下一个自然段），T－1指什么？

***〔13.51〕解释为什么这个式子等价于保体积形式εa…c，即εa…cTap…Tcr=εp…r？进一步，为什么保这种符号就充分了？

**〔13.52〕为什么？

**〔13.53〕验证这些关系，解释hab′记号的协调性。

**〔13.54〕证明这一点。

**〔13.55〕证明：这些变换正是那些保矢量v和余矢量v*之间埃尔米特对应的关系式，它们也保hab′。

**〔13.56〕证明这一点。

***〔13.57〕运用这种法则找出Sp（1）和Sp（1，1）的显表达式。

***〔13.58〕对p=q=n/2情形证明，这些不同的表达式是等价的。

*〔13.59〕为什么它们相同？

**〔13.60〕解释：方程XTS+SX=0是怎么来的？为什么SX=（SX）T？为什么X的迹为零？给出李代数的显式。为什么它的维数是这样？

***〔13.61〕描述这些李代数并求出它们的维数。

**〔13.62〕为什么？这在几何上意味着什么？