14.2 平行移动

由§10.3和§12.3可知，对于一般的n维光滑流形M上的标量场Φ，我们可以有对“变化率”即1形式dΦ的适当度量，这里dΦ=0表示Φ在（在整个M的连通域上）是一常数。但这种度量对一般张量无效，它甚至不能用于矢量场ξ。为什么呢？麻烦出在这里：在一般流形里，我们没有适当的ξ为常数的概念（一会儿你就会看到），而应用于ξ的微分（“梯度”）运算则应当具有对常数ξ作用结果为零的性质（正如dΦ=0表示标量场Φ的恒常性那样）。更一般地，我们要求对于“不是常数”的ξ，这种求导运算应当测度ξ关于定常值的导数。

为什么在一般n维流形M上会有矢量“恒常性”问题呢？在普通欧几里得空间内，常矢量场ξ应有这样一种性质：作为几何描述的所有“箭头”彼此平行。这样，某种“平行化”概念必将成为M结构的一部分。对此我们或许会担心，因为我们总惦记着欧几里得第五公设问题——平行公理——它曾是第二章讨论的中心议题。例如，双曲几何就不允许有处处“平行的”矢量场。不管怎么说，“平行化”概念不是流形M仅仅因为它是光滑流形就可以拥有的性质。在图14.1中，我们用由两个欧几里得平面拼块组成的二维流形这一例子展示了这种困难，普通的欧几里得“平行”概念无法与拼块间的过渡相容。

为了对什么样的平行概念才是适当的这一点有所了解，我们不妨先来考察一下普通二维球面S2的内在几何性质。我们在S2上选一特定点p（譬如说北极）和p的一个特定切矢量v（譬如说如图14.2那样，沿格林尼治子午圈方向）。在S2的其他点上，哪些切矢量会与v“平行”呢？如果我们按标准做法简单地将S2嵌入到欧几里得三维空间来导出“平行”概念，那么我们将发现，在S2的大多数点q上，根本就不存在这种意义下的与v“平行”的S2的切矢量，因为q点的切平面通常不包含v方向。（只有过p且垂直于p点的格林尼治子午圈的大圆才包含这种意义下平行于v的S2的切矢量的点。）适当的S2上的平行化概念应专指切矢量。因此，当我们逐渐移动q使之远离p点时，我们必须尽可能地将v的方向移向q点的切平面。事实上，这种想法不仅可行，而且效果不错，但有个新特征需要点明，就是我们得到的平行化概念与我们如何移动q使之远离p点所取的路径相关。[1]在“平行”概念里，这个路径无关性是真正的新要素，它的各种表述方式为有关粒子相互作用的现代理论的成功奠定了基础，这里当然也包括爱因斯坦广义相对论。

为了将这一点理解得更透彻些，我们来考虑S2上的路径γ，它起自p点止于S2上另一点q。我们可以把γ想象成是由极多的N个小段p0p1，p1p2，p2p3，…，pN－1pN组成的，这里起点p0 =p，末段的终点pN=q。然后想象在γ上移动v，使得在每一小段pr－1pr上v均平行于该小段本身——这里用了前述意义上的周围是欧几里得三维空间这一概念——然后，将v投影到pr点的切空间，见图14.2（b）。通过这种操作，我们最终得到q点上的切矢量，粗略地说，我们可以认为这个矢量自p至q一直是尽可能完全在曲面上沿γ平行滑动。实际上这种操作还是多少要依赖于γ近似为一系列小段的程度，但随着各小段被分得越来越小，在极限情形下可以证明，我们得到的是一个意义明确的结果，它不依赖于我们划分γ成各小段的具体细节。这种操作就是所谓的v沿γ的平行移动。在图14.3里，我画出了自p出发的沿5个不同路径（都是大圆）的平行移动看上去像是什么的样子。

那么，上述的路径相关指的是什么呢？在图14.4里，我在S2上标出了点p和q，以及自p至q的两条路径。一条是沿着大圆方向，另一条由经中点r处连接的一对大圆弧组成。我们从图14.3的几何可以看出，沿这两条路径（其中一条有个拐角，但这无关紧要）的平行移动得到的是两个非常不同的结果，对如图情形，二者方向上差了一个直角。注意，这里的差异只是矢量的方向发生了转动。我们有理由相信，按这种特定方式定义的平行移动概念总是保持矢量的长度不变。（然而，还有不同于上述方式的其他形式的“平行移动”存在。这些问题对以后的章节（§14.8，§§15.7，8，§19.4）很重要。）当我们将路径γ取为一闭环（即p=q）时，可以看到以极端方式出现的这种角度差异，在这种情形下，平行移动的切矢量的初始方向和终态方向之间很可能不同。事实上，就严格的单位半径的几何球面而言，这种差异是一个转角，如果以弧度计，该转角的值精确等于环（所包围的）的总面积。**〔14.3〕