§5　布劳沃尔不动点定理

空间Rn中的点集

被称为n维闭球体.我们来考查从Bn（r）到Bn（r）的连续映射

对于n=1的情形，B1（r）就是闭区间[-r, r].根据一元连续函数的介值定理，容易得知：任何连续映射

都一定有不动点.——这就是说，必定存在

使得

本世纪早期，布劳沃尔（Brouwer）发展拓扑学的方法，将上面所说的结果推广到很普遍的情形.他证明了：从n维闭球体Bn（r）到Bn（r）的任何连续映射f都一定有不动点，即必定存在ξ∈Bn（r），使得f（ξ）=ξ.——这就是著名的布劳沃尔不动点定理.在理论数学与应用数学中，这定理都起着很重要的作用.在本节中，我们将利用“斯托克斯型公式”这样的分折工具，作出布劳沃尔不动点定理的一种较简单的证明.为了便于理解，我们将首先对n=2与n=3的情形展开讨论；然后说明怎样将这证明推广到更一般的情形.我们将对闭单位球体

陈述并证明定理.

以下判断符合我们的直观与经验：一个圆面，保持边界圆周上的每一点固定不动，如果不把这圆面撕破，那么就不能使整个圆面缩到边界圆周上去.如果以B2=B2（1）表示闭单位圆面，以∂B2=S1表示B2的边界——单位圆周，那么上述基本事实（附加一定的分析条件）可以陈述为这样一个定理：

定理1　不存在满足以下条件（1）和（2）的二阶连续可微映射g：B2→R2，

证明　用反证法.假设存在满足条件（1）和（2）的二阶连续可微映射

——这里g1（x）=g1（x1，x2）和g2（x）=g2（x1，x2）表示g（x）=g（x1，x2）的分量.利用g，我们构造这样一个微分形式：

下面，将用两种不同的方法计算ω沿着单位圆周∂B2=S1的积分（约定∂B2=S1义以反时针方向为正向）.

首先，根据格林公式，我们有

这里须指出，为了应用格林公式于微分形式

至少要求P和Q是一阶连续可微的.因为（g1，g2）是二阶连续可微的，所以可以对微分形式

应用格林公式.利用上一节中所述的外微分运算的性质（d1）一（d4）计算dω，我们得到

但因为

所以对任何x=（x1，x2）∈B2，都有

微分这式子就得到

我们看到，以

为系数方阵的齐次线性方程组有非零解

因而这方阵的行列式应该等于0：

由此得到

另一方面，因为

所以有

^[3]

由此得到

以上我们用不同的办法计算积分

得到了互相矛盾的结果.这矛盾说明满足所述条件的二阶连续可微映射g=（g1，g2）根本就不可能存在.□

定理2　设f：是二阶连续可微映射，满足条件

则必定存在ξ∈B2，使得

证明　用反证法.假设f没有不动点.则可按以下办法构作一个映射g：从点f（x）出发经过点x引射线与αB2交于一点y（参看图16-13），我们定义

下面来说明：对任意给定的x∈B2，上述是唯一确定的；并且g：是二阶连续可微映射.事实上，g（x）应满足条件

因此，t应该满足二次方程

（圆黑点“·”表示向量的内积）.

因为

所以，对于给定的x∈B2，关于t的二次方程有两个实根，并且其中至多只有一个根是正的.考查方程左边的式子，我们看到：当t=1的时候该式等于

而当t充分大的时候该式显然大于0.由此得知，对任意给定的x∈B2，关于t的二次方程有唯一正根

（这一事实从几何上看是很明显的：从点f（x）出发经过点x所引的射线与αB2恰有一个交点.）利用二次方程根的表示式容易看出：t（x）关于x至少是二阶连续可微的.因而

也至少是二阶连续可微的.

按照g的定义，显然有

但这与定理1矛盾.我们用反证法证明了定理2.□

定理2　是关于二阶连续可微映射的布劳沃尔不动点定理.为了证明关于连续映射的布劳沃尔定理，我们需要用到这样一个逼近定理：

维尔斯特拉斯逼近定理　设n元函数q（x）在闭球体Bn上连续，则对任意给定的ε＞0，存在n元多项式p（x），使得

我们将在第二十一章中证明这个关于n元连续函数的维尔斯特拉斯逼近定理.这里先引用它来证明以下的布劳沃尔不动点定理.

定理3　设f：是连续映射，满足条件

则存在ξ∈B2，使得

证明　用反证法.假设f在B2上没有不动点，那么连续函数

在有界闭集B2上一定取得正的最小值.我们可以取ε＞0，使得

映射f=（f1，f2）：的两个分量

都是连续函数.根据维尔斯特拉斯逼近定理，存在多项式p1（x）和p2（x），使得

我们记

则有

虽然对于x∈B2，不一定有p（x）∈B2，但可断定

如果记

那么h：满足条件

对任意的x∈B2，我们有

但h：是二阶连续可微映射，满足条件

根据定理2，映射h必定具有不动点.这就是说，必定存在x∈B2，使得

我们得到了矛盾的结果，从而完成了反证法的证明.□

对于n=3的情形，可以仿照上面的讨论，用类似的办法证明布劳沃尔不动点定理.我们将简单地陈述主要的步骤.

定理1'　不存在满足以下条件（1）和（2）的二阶连续可微映射

假设存在这样的映射g=（g1，g2，g3），则可构作微分形式

如同定理1证明中那样，我们可以用两种不同的办法计算积分

从而导出矛盾.只不过代替定理1证明中所用到的格林公式，我们这里需要利用高斯公式.

定理1'　是关键的一步.有了定理1'，利用与定理2几乎完全相同的证明方法，就可得到

定理2'　设f：是二阶连续可微映射，满足条件

则必定存在ξ∈B3，使得

然后，利用关于三元连续函数的维尔斯特拉斯逼近定理，几乎逐字逐句照搬定理3的证明，就能得到

定理3'　设f：是连续映射，满足条件

则必定存在ξ∈B3，使得

上面介绍了对n=2情形与n=3情形的布劳沃尔不动点定理的证明.这里叙述的证明方法，原则上也适用于更一般的情形.在对n=2情形与n=3情形的证明中，我们用到了格林公式与高斯公式.对于一般的n，这种证明方法需要用到关于n维球的斯托克斯型公式.在以后的关于微分流形的课程中，将要介绍很一般的斯托克斯型公式.有了那样的分析工具之后，仿照这里的做法，读者可以很轻松地完成对一般情形的布劳沃尔不动点定理的证明.