3.6　均值的置信区间及其Excel程序

3.6.1　计算均值的置信区间的方法

用相同的方法重复测定某一量,在消除系统误差的情况下,测定值的算术平均值（子样平均值）,可作为这个量的真值μ（即总体均值,以下简称真值或均值）的估计值。测定次数越多,子样容量n越大,平均值与真值就越接近。当测定次数为无穷时,平均值就是这个量的真值。当然,实际上测定无穷多次是做不到的。我们可以根据有限次测定数据的平均值去估计真值μ,这就是本章3.3节提到的均值点估计问题。如果测定数据服从或接近服从正态分布,可以证明这种估计是相当好的。但毕竟是。那么子样平均值与总体均值到底相差多少呢? 这就需要估计其误差。令均值μ的估计量的误差的绝对值为

由于估计量是由于样值计算出的统计量，故也是一随机变量。同例2-2类似，可以找到一种方法，求估计误差位于某一区间的概率；或者反过来，可以给定这个概率，求出估计的误差范围。这后一个问题，正是本节所要讨论的，只是问题的提法不同。这里给出一个置信概率（或称置信度），求总体均值在这个置信概率下的所在范围（区间），这个范围称为置信区间。

可以用下式表示μ的估计量，即

或等价地写成

再进一步写成

对于式（3-25）可以叙述为“估计量的误差落在区间（-ε，ε）中的概率为（1-α）”。而对式（3-26）则叙述为“在置信概率为（1-α）时的均值μ的置信区间是”。也就是说，有100（1-α）％的把握，均值μ在这个区间内。但不能说成“均值落在这个区间的概率为100（1-α）％”。这是因为对一个特定的总体来说，其均值μ是一个常数，只是在一般情况下，不能确切地知道而已；也就是说，μ不是一随机变量，要么这个区间包含μ（此时μ出现的概率是100％），要么这个区间不包含μ（概率为0）。

置信区间表示估计结果的精确程度，置信概率则表示估计结果的可靠程度。

为了确定均值μ在某一置信概率下的置信区间，需要计算式（3-26）中的ε。这里需引入一个新的变量。

可以证明，随机变量t有如下的概率密度函数

这个分布叫作具有自由度为f=n-1的t分布。显然，t分布关于t=0是对称的，t分布的概率密度取决于子样的容量n和t的值。

利用t分布可以导出

即

式中

所以

结合算术平均值的标准差的计算式（3-14），上式可写成

将式（3-31a）代入式（3-26）得

对应置信概率（1-α）的均值μ的置信区间是

科学工作者常把置信区间表示为

于是，对于式（3-33），可以通俗地说成“用子样平均值去估计真值μ，有100（1-α）％的把握，其误差为（）”。

利用附录B-2，可以查到对应已给的置信概率（1-α）、自由度f=n-1的ta，f的值，从而求得均值μ的置信区间。

具体做法如下：

①问题给出：原始数据、子样容量n、置信概率（1-α）。

②由α、f（=n-1）查附录B-2，得ta，f。

③由原始数据计算平均值和标准差S。

④计算ε。

⑤写出置信区间（），或者写成，并标明置信概率。

【例3-4】　在指定条件下，对某物理量测定得如下数据：11、12、12、8、8、13、13、14、14、15，试分别求出置信概率为0.90和0.99时均值的置信区间。

解：　已知n=10，1-α1=0.90，1-α2=0.99，则

f=n-1=10-1=9 α1=1-0.90=0.10 α2=1-0.99=0.01

查附录B-2得

t0.10，9=1.83t0.01，9=3.25

由原始数据，得

由计算结果可知，当置信概率分别为90％和99％时，该物理量的置信区间分别为

从例3-4的结果可以看出，对应同一测定结果，置信区间随置信概率的不同而不同，提高置信概率，置信区间增大。

科学工作者在报告研究成果时，通常取置信概率为95％，也有取90％和99％的。

【例3-5】　为检验某一河流中鱼被汞污染的情况，从一批鱼中随机抽取一些鱼样，测定鱼组织中的汞含量，得到测定结果如下（ppm）：2.06、1.93、2.12、2.16、1.89、1.95，试从测定数据估计这批鱼汞含量的范围。

解：　取置信概率为0.95，即

1-α=0.95，α=0.05

f=n-1=6-1=5

查附录B-2得

t0.05，5=2.57

由原始数据

所以，这批鱼的汞含量范围为

由计算结果，可以说根据这次试验，有95％的把握，这批鱼的汞含量在1.90～2.14ppm之内。