3.4　一元积分学

前面介绍了如何根据已知函数求导数，但在实际问题中，有时是已知导数，需要求其原函数。例如，已知速度，求物体的运动规律；已知边界曲线，求其所围区域面积，这些问题需要用积分来解决。本节将介绍不定积分、微分方程和定积分的相关内容。

3.4.1　不定积分

原函数　在区间上，如果，则称为的导函数，称为的原函数，原函数与导函数是一种互逆关系。

连续函数一定存在原函数，且原函数不是唯一的，它们之间相差一个常数。

不定积分　如果为的一个原函数，则为的全体原函数（为任意常数），记为，即，称为不定积分，其中，为积分号，为被积函数，x为积分变量。

例3-12　求。

解：使用Python包SymPy中的integrate函数求解不定积分。具体程序如下：

输出结果如下：

注意，结果中没有任意常数，请自行添加。

3.4.2　微分方程

不定积分很重要的一个应用就是求解微分方程。微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式，解微分方程就是求出未知函数。形如的方程称为微分方程，其中，为自变量，为因变量。

例3-13　求解微分方程。

解：使用Python包SymPy中的dsolve函数求解微分方程的解析解。具体程序如下：

输出结果如下：

3.4.3　定积分

定积分　设函数在上有定义，且有界，在中任意加入个分点，，将分成个子区间，记每个子区间的长度分别为；任取，作乘积()的和式；令，若无论对区间采取何种分法，以及采取何种取法，极限总存在，则称函数在上可积，并称此极限为函数在上的定积分，记为，即

其中，称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限，称为积分号。

函数满足什么条件就可在上一定可积呢？下面只给出一个必要条件和两个充分条件。

（1）如果函数在上可积，那么在上有界。

（2）如果函数在上连续，那么在上可积。

（3）如果函数在上有界，且只有有限个第一类间断点，那么在上可积。

例3-14　求积分。

解：使用Python包SymPy中的integrate函数求解定积分。具体程序如下：

输出结果如下：

在Python中，也可以用integrate函数求解广义积分。

例3-15　求积分。

解：使用Python包SymPy中的integrate函数求解广义定积分。具体程序如下：

输出结果如下：