2-2-3　联立方程式求解

在中学阶段，我们通常会以高斯消去法（Gaussian Elimination）解联立方程式。以下列方程式为例：

x+y =16

10x+25y =250

将第一个方程式两边乘以-10，加上第二个方程式，即可消去x，变成

−10（x+y）=−10（16）

10x+25y=250

简化为

15y=90

得到y=6，再代入任一方程式，得到x=10。

以上过程，如果以线性代数求解就简单多了。

（1）以矩阵表示：A为方程式中未知数（x, y）的系数，B为等号右边的常数且AX = B。

（2）其中，则X = A-1 B。证明如下：

①两边各乘A-1得

A-1AX = A-1 B

②A-1A等于单位矩阵，且任一矩阵乘以单位矩阵，还是等于原矩阵，故

X = A-1 B

③以上式求得（x, y）。注意：前提是A须为非奇异矩阵。

以下程序均收录在02_03_联立方程式求解.ipynb。

（1）以NumPy库求解上述联立方程式。程序代码如下：

①inv（A）：A的反矩阵。

②执行结果：x=10，y=6。

③也可以直接使用np.linalg.solve()函数求解。程序代码如下：

（2）画图，交叉点即联立方程式的解。程序代码如下：

执行结果：如图2.8所示。

（3）以NumPy库求解下列联立方程式。

−1x+3y =−72

3x+4y−4z=−4

−20x−12y+5z =−50

程序代码如下：

①执行结果：（x, y, z）=（12, -20, -10）。

②也可以使用SymPy库求解，直接将联立方程式整理在等号左边，使用solve()函数，参数内的多项式均假设等号（=）右边为0。