13.8 正交群

我们现在再回到正交群。在§13.3的开头，我们已经看到如何用普通笛卡儿坐标系（x，y，z）将O（3）或SO（3）忠实地表示为三维实矢量空间里的线性变换。这里球面

x2+y2+z2=1

是线性变换下的左不变量（其中上标2是“平方”）。现在我们把这个方程写成指标形式（§12.7），以便推广到n维情形。在指标形式下，球面方程为

gabxaxb=1，

它表示（x1）2+…+（xn）2=1，分量gab由

给出。在图示记法下，我建议读者用“卡箍”来表示gab，如图13.15（a）所示；用逆（“倒卡箍”，如图13.15（a））来表示gab（它与gab是同一个量）：

被弄糊涂了的读者有充分的理由质疑：为什么要引入两个新记号来表示gab和gab这两个内容上与我在§13.3里用代表的完全相同的矩阵分量？原因有二，首先是记号的一致性要求，其次是所处的情形不同。当我们在坐标系下进行线性变换时，按某种置换

此处tab是非奇异的，因此它有逆sab：

我们在§§13.3，7里考虑的都是这种线性变换，但现在我们要考虑的则与此截然不同。在前述各节里，我们可将线性变换视为主动的，因此矢量空间V本身被认为是活动的，而现在我们要研究的线性变换是被动的，故研究对象即矢量空间V本身是逐点固定的，而变化的只是坐标表示。对此的另一种理解是，我们前面使用的基（e1，e2，…，en）（用作根据分量的矢量/张量等量的表示[18]），现在被替代为另一组基，见图13.16。

与我们在§13.7里看到的张量的主动变换直接相联系的，是张量Q的分量的相应的被动变换，它可表示为**〔13.45〕

将此应用到上可知，其分量完全不变，*〔13.46〕而对于gab则不是这样。此外，一般来说，在坐标变换后，分量gab完全不同于gab（逆矩阵）。因此，增设符号gab和gab的理由，简单地说，就是因为唯有它们才能够象特定坐标系（笛卡儿坐标系）里的那样表示同样的分量矩阵。一般来说，分量可能是不同的。这一点对广义相对论具有重要意义，因为在广义相对论里，坐标系通常并不能取为这种特定的（笛卡儿）形式。

一般的坐标变换会使得分量gab的矩阵变得更为复杂，虽然还不是完全一般的矩阵。它保留了对称矩阵里a和b之间的对称性质。“对称”项说明，各分量的方阵是关于主对角线对称的，即gT=g（§13.3里的“转置”记法）。在指标记法下，这种对称性表现为两种等价的*〔13.47〕形式：

gab=gba，gab=gba，

在图示记法下的关系则见图13.15b。

反过来考虑会怎样呢？是不是任何非奇异n×n实对称矩阵都可以约化为克罗内克δ的分量形式？我们说这不完全对，实线性坐标变换的情形就不全是这样。能够经此变换而约化为克罗内克δ的分量的实对称阵，要求沿主对角线元素不为1或－1。沿主对角线1的个数p和－1的个数q都是一种不变量，就是说，我们不可能用另一种实线性变换来得到不同的p，q值。不变量（p，q）称为g的符号差。（符号差有时记为p－q，有时也用+…+－…－这样的形式来表示。）实际上，当g是奇异阵时，这一概念也是适用的，只是需要在主对角线上加上一些0，而且0的数目像1和－1的数目一样变成了符号差的一部分。如果我们只有1，则g是非奇异的，且q=0，此时我们称g是正定的。p=1和q≠0（或q=1和p≠0）的非奇异矩阵g称为洛伦兹型的，以纪念丹麦物理学家H.A.洛伦兹（H.A.Lorentz，1853～1928），他在这方面的重要工作已成为相对论理论的基石之一，见§§17.6～9和§§18.1～3。

在其他一些特定场合（见§20.3，§24.3和§29.3）下非常重要的正定矩阵A的另一特征，是对所有x≠0，实对称阵A满足

xTAx＞0

在指标记法下，它写成：“Aabxaxb＞0，除非矢量xa为零”。**〔13.48〕如果将式子里的＞代换为≥，这个称述仍成立，则称A是非负定（或正半定）的（因此对某些非零x，现在允许xTAx=0）。

在适当场合下，我们将对称非奇异价张量gab称为度规。而对g不是正定的情形，则称gab是伪度规。这个术语主要用于那些沿曲线作“距离”ds定义的场合，这里ds由其平方ds2=gabdxadxb来定义。我们将在§14.7里讨论这个概念在曲面流形（见§10.2，§§12.1，2）上的应用，而在§17.8的洛伦兹度规情形下，它提供了一种实际是描述相对论时间的“距离”测量。有时我们也把量

｜v｜=（gabvavb）1/2

作为矢量v的长度，这里va是指标形式。

我们再回到正交群O（n）的定义上来。它不过就是n维的线性变换群——我们称其为正交变换群——它保给定的正定g。“保”g是指正交变换T必须满足

gabTacTbd=gcd。

这是§13.7里描述的（主动）张量变换法则应用到gab上的一个例子（该方程的图示记法见图13.17）。正交变换群保正定g的另一种说法是，前述的度规形式ds2在正交变换下保持不变。如果我们愿意，我们可以坚持认为分量gab实际上就是克罗内克δ——当然这是指在§§13.1，3给出的O（3）定义下——但对群也一样，[19]不论我们取什么样的gab的n×n正定阵列。**〔13.49〕

通过gab的具体如克罗内克δ那样的分量实现，描述正交变换的矩阵满足**〔13.50〕

T－1=TT。

这种矩阵称为正交矩阵。实正交n×n矩阵提供了群O（n）的一种具体实现方式。具体化到非镜面反射群SO（n），我们要求其行列式为1：***〔13.51〕

det T=1

我们也可以考虑相应的伪正交群O（p，q）和SO（p，q）。这些群出自虽非奇异但也未必正定的g，此时它有更为一般的符号差（p，q）。p=1，q=3（或等价的p=3，q=1）情形称为洛伦兹群，如上所述，它在相对论里起着基础性作用。我们还将发现（如果不考虑时间反演的话），洛伦兹群等同于我们在§2.7里遇到的三维双曲空间里的对称群；（如果不考虑空间反演的话）它也等同于黎曼球面上的对称群，这种群我们曾在§8.2里用双线性（默比乌斯）变换产生过。这里不宜多作解释，我们最好还是在对狭义相对论的闵可夫斯基时空几何（§§18.4，5）有了一定了解之后再来说明这些事实。我们还将从§33.2看到，这些事实对扭量理论也具有重要意义。

对于固定的n（p+q=n），不同的群O（p，q）之间到底有哪些“差异”？（n=2的正定群和n=3的洛伦兹群之间的对比见图13.18。）应当说，它们是密切相关的，所有这些群有相同的维数n（n－1）。它们是同一个复数群O（n，C）（O（n）的复化群）的所谓实形式。这个复化群的定义同O（n）（=O（n，R）），但允许复数型的线性变换。虽然我在本章主要谈的是实线性变换，但通篇讨论在将句中字眼“实数”替换为“复数”后仍成立。（此时坐标xa换为复数坐标，矩阵分量也作同样处理。）唯一的根本区别，正如我们前面指出的，在于符号差概念。复线性坐标变换能够在gab的对角化时将－1变换为+1，反之亦可，**〔13.52〕因此，现在符号差概念已没什么意义，复数下g的唯一的不变量[20]是它的秩，即对角化后的非零项的项数。对于非奇异g，秩有最大值，即n。

那么这些不同的实形式之间的差别什么情况下才是重要的呢？这倒是个棘手的问题，但物理学家们通常对这种区别并不以为意，即使这种差别变得重要时亦如此。正定情形的好处就在于群是紧的，这时许多数学问题变得较容易处理（见§13.7）。有时人们甚至漫不经心地将紧致情形下的结果用于非紧情形（p≠0≠q），殊不知这通常是不对的。（例如，在紧致情形下，我们只需要考虑有限维的表示，但在非紧情形下，就需要额外考虑无穷维表示。）另一方面，也存在一些忽略二者差别反而使我们可以有更好的理解的情形。（我们可将这种情形与§2.4里伯兰特根据角的定义得到双曲三角形的面积公式的发现过程作一比较。他是由球面的虚半径来导出公式的，这一点类似于这里的符号差变化，现在符号差也容许某些坐标有虚数值。在§18.4的图18.9里，我将把兰伯特的处理方法应用到非欧几何上来。）

O（n，C）的各种可能的不同的实形式可通过一组关于矩阵元素的不等式（例如det T＞0）来鉴别。量子理论的一个特性就是这种不等式经常在物理过程中被破坏。例如，一定意义上说，虚量在量子力学里有实际物理意义，因此不同符号差之间的区别有可能变得模糊不清。另一方面，我印象中物理学家们经常并不在意那些他们本该在意的东西。其实这个问题直接关系到我们对各种现代理论的检验（§28.9，§31.11，§32.3），其中许多是事后才注意到的。这就是我在§11.2里提到的“错综复杂的”情形！