13.9 酉群

群O（n，C）提供了一种将“转动群”从实群推广到复数群的方法。但也还有另一种推广方法，从某种意义上说，这种方法甚至更有意义。这就是酉群概念。

“酉”是指什么？我们说，正交群处理的是保二次型的问题，这个问题可等价地表示为gabxaxb或xTgx。对酉群来说，我们用的是复线性变换，这种变换保的则是所谓埃尔米特型（用以纪念重要的19世纪法国数学家Charles Hermite，1822～1901）。

什么是埃尔米特型呢？我们还是从正交矩阵说起。不过不是讨论（关于x的）二次型，而是（关于x，y的）对称双线性型

g（x，y）=gabxayb=xTgy

这个型最先是在§12.8里作为张量的“多重线性函数”的一个具体例子提出的，并应用到价张量g（令y=x，我们就回到上述二次型）。g的对称性可表为

g（x，y）=g（y，x），

第二个变量y的线性性表为

g（x，y+w）=g（x，y）+g（x，w），g（x，λ y）=λ g（x，y）

对于双线性性，我们还要求第一个变量也满足线性性，但它首先要遵循对称关系。

埃尔米特型h（x，y）则满足埃尔米特对称性

以及关于第二个变量y的线性性：

h（x，y+w）=h（x，y）+h（x，w）， h（x，λ y）=λ h（x，y）。

对第一个变量来说，埃尔米特对称性意味着所谓反线性性：

正如正交群保（非奇异的）对称双线性型，保非奇异埃尔米特型的复线性变换则提供酉群。

我们能用这种型做什么呢？（不必对称的）非奇异双线性型g提供了一种将x，y所属的矢量空间V与其对偶空间V*等同的方法，因此，若υ属于V，则g（υ，）提供了一种V上的线性映射，它把V的元素x映射为数g（υ，x）。换句话说，g（υ， ）是V*的元素（见§12.3）。在指数记法下，这个V*元素为余矢量vagab，习惯上我们用同一个粗黑字母υ来表示，但是带有下标gab（见§14.7），即

υb=υagab。

这种算符的逆可以用逆度规价张量gab来提升υa的指标来实现：

υa=gabυb。

我们将这种方法类比到埃尔米特型上。类似前述，矢量空间V的每个元素υ的选取给出了对偶空间V*的元素h（υ， ），但不同的是，这里h（υ， ）反线性地而不是线性地依赖于v，因此h（λ υ， ）=h（υ， ）。

等价的说法是，h（υ， ）对是线性的，这里矢量是υ的“复共轭”。我们来考虑由这些复共轭矢量构成的离散矢量空间。这种处理方法对（抽象）指标记法特别有用，这时我们不妨用a′，b′，c′，…这样的指标“字母”来标记这些复共轭元素，这里，加撇的指标和不加撇的指标之间不允许做缩并（求和）。复共轭运算使加撇的指标和不加撇的指标进行交换。在指标记法下，埃尔米特型表示为量ha′b的阵列，其中每一型一个（下）指标，这样，

（′是xa的复共轭），这里“埃尔米特型”表现为

ha′b阵列的作用是升降指数，但这里它将加撇的变为不加撇的，反之也一样。因此它作用的结果是产生复共轭空间的对偶空间：

对于这些运算的逆（这里我们认为埃尔米特型是非奇异的，即分量hab′的矩阵是非奇异的），我们有ha′b的逆hab′

这是因为**〔13.53〕

其实，利用上述关系，所有加撇的指标均可通过ha′b（和相应的逆hab′）加以消除。我们可对张量应用上述方法将加撇指标逐个消除，这样复共轭空间就与其对偶空间完全“重合”，而不是形成完全分离的空间。

这种把重合与对偶合并成复共轭概念（尽管它不常写成指标记法）的“复共轭”运算——通常也称为埃尔米特共轭运算——对量子力学以及数学和物理里许多其他相关领域（如§33.5的扭量理论）具有核心重要性。在量子力学文献中，复共轭常记为剑形符“†”，有时也标为星号“*”。

我比较爱用星号，这在数学文献里更常见，因此我在这里用粗黑体星号。这里适合用星号还因为它起着矢量空间V和对偶空间V*之间的交换作用。价的复张量（所有加撇指标都已消去）通过*映射为价的张量。因此，*的作用是使上指标变为下指标，下指标变为上指标。至于标量，*就是普通的复共轭运算。运算*是一种与埃尔米特型h本身等价的概念。

最熟悉的埃尔米特共轭运算（出现在分量ha′b取克罗内克δ的情形里），就是取每个分量的复共轭，同时按上标变下标、下标变上标等规则重组各分量。相应地，线性变换的各分量矩阵取这些复共轭的转置（有时称为矩阵的共轭转置），因此，对于2×2情形，我们有

在这个意义上说，埃尔米特矩阵是一种等于埃尔米特共轭的矩阵。这个概念，以及更广义上的抽象埃尔米特算子，在量子力学里极为重要。

请注意，*是反线性的是指，对具有相同的价的张量T和U，以及任意复数z，有

*的作用还必须保张量积，但由于指标位置颠倒，这种作用颠倒了缩并的顺序。具体地说，当*作用到线性变换（指具有一个上指标和一个下指标的张量）时，乘法的序是颠倒的：

（LM）*=M*L*。

在图示记法下，这种共轭运算可以非常简洁地表示为水平面的反射，其中包括了所要求的上下指标间的交换，见图13.19。

我们可用运算*来定义V的两个元素υ和w之间的埃尔米特标积，即余矢量υ*与矢量w的标积（不同场合可方便地用不同的记法）：

〈υ｜w〉=υ*·w=h（υ，w）

（见图13.19），我们有

具体到w=υ情形，我们得到υ关于*的范数：

‖υ‖=<υ｜υ>．

我们可选定V的一个基（e1，e2，…，en），在这个基下，分量ha′b是简单的n2个复数

ha′b=h（ea，eb）=<ea｜eb>，

它们组成埃尔米特矩阵的元素。基（e1，e2，…en）称为关于*的伪正交基，条件是

当其中所有±符号代之以+时，即每个±1都是1时，我们称这个基是正交基。

伪正交基总是存在的，但它有多种选择。在这种基下，矩阵ha′b是对角矩阵，且对角线上元素仅由若干个1和－1组成。1的数目p和－1的数目q在*作用下不变，它与基的选取无关。这使我们可将符号差（p，q）定义为算子*下的不变量。

如果q=0，则称*是正定的，在此情形下，[21]非零矢量的范数总是正的：**〔13.54〕

υ≠0 意味着 ‖υ‖＞0。

注意，这里“正定”的概念是§13.8里复数情形的推广。

线性变换T的逆为T*，故

T－1=T*，即T T*=I=T*T

当*是正定的，我们称T是酉矩阵；其他情形下，则称T是伪酉矩阵。**〔13.55〕T是“酉矩阵”是指当*表示通常共轭转置运算时，矩阵T满足上述关系，因此有。

n维酉变换群，或（n×n）酉矩阵的群，称为酉群U（n）。更一般地，当*有符号差（p，q）时，我们有伪酉群U（p，q）。[22]如果变换有单位行列式，则相应地我们有SU（n）和SU（p，q）。酉变换是量子力学里的基本变换（它们在纯数学的许多领域也有重要应用）。